本文修改后出版于《音频音乐与计算机的交融——音频音乐技术2》，谢绝转载。

一、概论

律学（temperament）是对构成乐制的各音依据声学原理、运用数学方法来研究各音间相互关系的一门学科。其中，“律”是构成律制的基本单位。当各律在高度上作精密规定，形成一种体系时，称为“律制”（tuning system）。“律”和“音”的概念相近但略有不同，律制中每个单位称为“律”，而音阶中每个单位称为“音”，律制与音阶的关系十分密切。

我们知道，在复合音中，除“基音”（fundamental tone）外还有各种“泛音”（overtone），有时也称为倍音。以弦振动为例，全弦振动产生基音，同时各部分振动产生各种泛音（弦分两段振动产生第一泛音，分三段振动产生第二泛音，以此类推）。将基音和各泛音进行横向排列，可以得到“谐音列”，如表1-1所示。各律制的规定与谐音列密不可分。

表1-1 谐音列

第一谐音	第二谐音	第三谐音	第四谐音	第五谐音	……	第N谐音
基音	第一泛音	第二泛音	第三泛音	第四泛音	……	第N-1泛音
f（频率）	2f	3f	4f	5f	……	N×f

接下来将分别对音律计算法，三种常见律制（五度相生律、纯律和十二平均律），中欧律学简史以及律制的应用进行详细介绍。

二、音律计算法

音律计算法即音程的计算法，使用频率比或音程值（interval value）来表示和计算音程的大小。音程值有四种，分别为对数值、八度值、音分值和平均音程值。

（一）频率比

根据音的频率来计算，用“频率比”来表示两音的距离，即用两个频率的比值来表示音程的大小，表达式为：

$k=\frac{f2}{f1} \tag{2.1}$

式（2.1）中，k为频率比，f1、f2分别为两个音的频率，一般将较大的频率作为分子，较小的频率作为分母。

例如c1-e1的频率比为： $\frac{f(e1)}{f(c1)}=\frac{329.63Hz}{261.63Hz}=\frac{63}{50}=1.26$ ， c1-c2的频率比为： $\frac{f(c2)}{f(c1)}=\frac{523.26Hz}{261.63Hz}=\frac{2}{1}=2$ ，即一个八度的频率比为2。

以上音高频率取自国际标准音高与频率对照表。各音程对应的频率比在不同律制中略有不同，其对应关系可见表3-1至表5-1。

（二）对数值

对音程中两个音的频率比取常用对数可以得到该音程的对数值（logarithmic value），表达式为：

$v=\lg(\frac{f2}{f1}) \tag{2.2}$

式（2.2）中，v为对数值，f1、f2分别为两个音的频率。

对于对数值，通常取其千倍并四舍五入至个位来进行使用，并以对数值采用者的姓氏“沙伐”（Savart）作为这种“千倍对数值”的单位。例如c1-c2音程的（千倍）对数值为： $1000\times\lg{\left(\frac{f\left(c2\right)}{f\left(c1\right)}\right)}=1000\times\lg{\left(\frac{523.26Hz}{261.63Hz}\right)}=301沙伐$ （对数值为0.30103）。

音阶中各音的音程值，一般指其与主音的距离。而音程值中的对数值无法明示八度，因此不被通用。

（三）八度值

使用八度值（octave value）来表示音程值，可以避免对数值无法明示八度的缺陷，其求法与对数值类似，即对频率比取以2为底的对数，表达式为：

$v={log}_2(\frac{f2}{f1})\tag{2.3}$

式（2.3）中，v为八度值，f1、f2分别为两个音的频率。例如c1-c2音程的八度值为： ${log}_2{\left(\frac{f\left(c2\right)}{f\left(c1\right)}\right)}={log}_2\left(\frac{523.264Hz}{261.632Hz}\right)=1$ 。可以看出，当八度值大于1时，表示音程超出一个八度。

在已知音程对数值的情况下，可以将 $\frac{1}{0.30103}$ （ $\frac{八度的八度值}{八度的对数值}$ ）作为比例常数，来更快捷地计算出音程的八度值。例如c1-e1音程的八度值为： $\frac{1}{0.30103}\times\lg{\left(1.26\right)}=0.33342$ 。

八度值与对数值一样，通常取其千倍值使用，称为“千分八度值”。其优点在于可明确看出音程包含几个八度。

（四）音分值

音分值（cent value）是基于十二平均律的一种音程值，它规定八度的音分值为1200。各音程的音分值可根据其对数值进行计算，表达式为：

$v_{音分}=k\times v_{对数} \tag{2.4}$

式（2.4）中， $v_{音分}$ 为音程的音分值， $v_{对数}$ 为音程的对数值，k为比例常数，由 $\frac{1200}{0.30103}$ （ $\frac{八度的音分值}{八度的对数值}$ ）计算得出，为3986.3137。例如c1-e1音程的音分值为： $3986.3137\times\lg{\left(1.26\right)}=400.1085$ 。通常在使用音分值时会四舍五入至个位，即c1-e1音程的音分值为400音分。

十二平均律中每个半音的音分值为100音分，不同律制下音程的音分值略有不同。使用音分值来表示音程较为直观且计算方便，所以在国际间被广泛使用。

（五）平均音程值

平均音程值（centitone）也是基于十二平均律的一种音程值，它规定全音为1，半音为0.5（音分值的全音为200，半音为100）。可以通过音程的音分值计算得出，也可通过对数值计算得出，表达式分别为：

$v_{平均}=\frac{v_{音分} }{200}, v_{平均}= k\times v_{对数} \tag{2.5}$

式（2.5）中， $v_{平均}$ 为音程的平均音程值， $v_{音分}$ 为音程的音分值， $v_{对数}$ 为音程的对数值，k为比例常数，由 $\frac{6}{0.30103}$ （ $\frac{八度的平均音程值}{八度的对数值}$ ）计算得出，为19.93157。例如c1-e1音程的平均音程值为： $\frac{400}{200}=2$ 或 $19.93157\times\lg{\left(1.26\right)}=2.00$ ，通常计算平均音程值时保留两位小数。

（六）音律计算工具

现代研究者在进行音律计算时可以借助音频分析软件，例如由英国的数字音乐中心（C4DM）制作的Sonic Visualiser软件和由美国的Adobe公司制作的Adobe Audition软件。通过软件可以查看音频的频谱、音高、音分值，对音频中的音程进行测量等，以便于进行音律的计算与研究。

三、五度相生律

五度相生律（circle-of-fifths system）是应用分音列中的第二分音和第三分音之间的关系而构成的一种律制，它把构成纯五度音程的两个音的频率规定为2:3。即由一律出发，根据第三分音对第二分音的距离产生下一律（上方五度或下方五度），再由此律同理产生再下一律，继续相生，产生多个律，最后作八度移动，纳入同一八度。纯五度音的计算表达式为：

$\ f2=\frac{3}{2}\times f1\quad or\quad f2={(\ \frac{3}{2}\ )}^{-1}\times f1\tag{3.1}$

式（3.1）中，前者为“向上”取律，后者为“向下”取律，f1为当前律的频率，f2为下一律的频率。

这种每隔五度产生一律，继续相生而得各律的做法，称为“五度相生法”。严格按照纯五度的距离（2:3）使用五度相生法得到的律制称为“五度相生律”。与“五度相生法”类似，还有“三分损益法”，两种产生法及其产生的律制相似而略有不同，详见第六节。

将各律按照五度关系排列，构成“五度音列”，如图3-1所示。

图3-1

（一）五度律大音阶

从主音c起，向上连取五律，向下取一律，将构成“五度律大音阶”，如表3-1所示（c1表示小字一组的c音）。

表3-1

音级	1	2	3	4	5	6	7	8
音名	c1	d1	e1	f1	g1	a1	b1	c2
频率比	1	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^2}{2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^4}{2^2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-1} }{2^{-1} }$	$\frac{3}{2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^3}{2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^5}{2^2}$	2
音分值	0	204	408	498	702	906	1110	1200
频率	261.63	294.33	331.13	348.84	392.45	441.50	496.69	523.26
名称	同度	大全音	五度律大三度	纯四度	纯五度	五度律大六度	五度律大七度	纯八度

其中频率比为该音与主音的频率比（按照产生方法表示），音分值为该音与主音构成音程的音分值，名称为该音与主音构成的音程名称。频率比中的 $\frac{1}{2^n}$ 表示向下移动n个八度。

五度律大音阶中，相邻两音间的音程有两种，分别称为“大全音”（频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^2}{2}=\frac{9}{8}$ ，例如c1-d1）和“五度律小半音”（频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-5} }{2^{-3} }=\frac{256}{243}$ ，例如e1-f1）。除去表3-1中提到的音程名称，还有“五度律增四度”（频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^6}{2^3}=\frac{729}{512}$ ，例如f1-b1）和“五度律减五度” （频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-6} }{2^{-4} }=\frac{1024}{729}$ ，例如b1-f2），二者互为转位音程，都由六个五度级构成。

在五度音列上，从任何一音起，向上连取五律，向下取一律，都可以构成以起音为主音的各调五度律大音阶。例如五度律G调大音阶为：g-a-b-c-d-e- $^{\# }f$ -g 。

（二）五度律小音阶

从主音c起，向上连取二律，向下连取四律，将构成“五度律自然小音阶”，如表3-2所示。

表3-2

音级	1	2	3	4	5	6	7	8
音名	c1	d1	${_\ ^b}e1$	f1	g1	${_\ ^b}a1$	${_\ ^b}b1$	c2
频率比	1	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^2}{2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-3} }{2^{-2} }$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-1} }{2^{-1} }$	$\frac{3}{2}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-4} }{2^{-3} }$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-2} }{2^{-2} }$	2
音分值	0	204	294	498	702	792	996	1200
频率	261.63	294.33	310.08	348.84	392.45	413.44	465.12	523.26
名称	同度	大全音	五度律小三度	纯四度	纯五度	五度律小六度	五度律小七度	纯八度

五度律自然小音阶中，相邻两音间的音程也只有“大全音”和“五度律小半音”两种。若将五度律自然小音阶中的七级音换为五度律大音阶中的七级音，则构成“五度律和声小音阶”（c1-d1- ${_\ ^b}e1$ -f1-g1- ${_\ ^b}a1$ -b1-c2）。六级音和七级音之间将构成特殊音程“五度律增二度”（频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^9}{2^5}=\frac{19683}{16384}$ ）。

五度律小音阶中，在自然小音阶与和声小音阶之外，还有一种“曲调小音阶”，其上行音阶为：c1-d1- ${_\ ^b}e1$ -f1-g1-a1-b1-c2 ，下行音阶为：c2- ${_\ ^b}b1$ - ${_\ ^b}a1$ -g1-f1- ${_\ ^b}e1$ -d1-c1。

（三）五度律大半音和最大音差

五度律C调大音阶中，c-d之间有两个升降音 ${_\ ^\# }c$ 和 ${_\ ^b}d$ 。 ${_\ ^\# }c$ 由c向上生七次得到，频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^7}{2^4}=\frac{2187}{2048}$ ； ${_\ ^b}d$ 由c向下生五次得到，频率比为 $\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-5} }{2^{-3} }=\frac{256}{243}$ 。c - ${_\ ^\# }c$ 是比五度律小半音（90音分）稍大的半音（114音分），称为“五度律大半音”。

在五度相生律中，不同音名的半音，即“自然半音”（diatonic semitone），都为五度律小半音，又称林马半音（limma），相距五个五度级，例如c- ${_\ ^b}d$ 、e-f。相同音名的半音，即“变化半音”（chromatic semitone），都为五度律大半音，又称阿波托美半音（apotome），相距七个五度级，例如c- ${_\ ^\# }c$ 、 ${_\ ^b}d$ -d。

五度律大半音和五度律小半音之间的差值称为“最大音差”（comma maxima）。最大音差的频率比为 $\frac{2187}{2048}\div\frac{256}{243}=\frac{531441}{524288}$ ，音分值为114 – 90 = 24音分。相距十二个五度级的两律构成最大音差。五度律中， ${_\ ^\# }c$ 比 ${_\ ^b}d$ 高一个最大音差（大全音之间的两个升降音关系都是如此），增四度比减五度、增二度比小三度、增五度比小六度分别都大一个最大音差。

最大音差的存在，使五度相生律无法在十二律上循环构成各调音阶，即从主音出发，生律十二次（或更多次）并纳入同一八度后，无法回到主音，这对五度相生律的使用造成了一定障碍。

四、纯律

纯律（just intonation）是在五度相生律的基础上加入了分音列中的第四、五、六分音之间的频率比而构成的一种律制，即使用纯律大小三度音程替换了五度相生律中的一些音程，又称为自然律（natural temperament）。其中纯律大三度音（根据第五分音相对第四分音的距离得到）和纯律小三度音（根据第六分音相对第五分音的距离得到）的计算表达式分别为：

$f2=\frac{5}{4}\times f1 \quad or\quad f2=\frac{6}{5}\times f1 \tag{4.1}$

式（4.1）中，f1为当前律的频率，f2为生成律的频率。

（一）纯律大音阶

从主音c起，按照五度相生法向上连取两律，向下取一律，得到g、d、f音，再在c-g、g-d、f-c之间各插入一个纯律大三度音，可得到纯律大音阶，如表4-1所示。

表4-1

音级	1	2	3	4	5	6	7	8
音名	c1	d1	$\underline{e}1$	f1	g1	$\underline{a}1$	$\underline{b}1$	c2
频率比	1	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^2}{2}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-1} }{2^{-1} }$	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}$	$\frac{3}{2}\times\frac{5}{4}$	2
音分值	0	204	386	498	702	884	1088	1200
频率	261.63	294.33	327.04	348.84	392.45	436.05	490.56	523.26
名称	同度	大全音	纯律大三度	纯四度	纯五度	纯律大六度	纯律大七度	纯八度

表4-1中，音名下的下划线表示其比五度律音阶中的同名音低一个“普通音差”（common comma）。普通音差即五度律大三度和纯律大三度的差值，频率比为 $\frac{81}{64}\div\frac{5}{4}=\frac{81}{80}$ ，音分值为408 – 386 = 22音分。纯律大音阶中，d- $\underline{e}$ 称为“小全音”（频率比 $\frac{10}{9}$ ，音分值182音分）， $\underline{e}$ -f称为“纯律大半音”，简称大半音（频率比 $\frac{16}{15}$ ，音分值112音分），比五度律大半音（114音分）稍小。大全音比小全音大一个普通音差，大半音（纯律大半音）比五度律小半音大一个普通音差。

纯律大音阶中的各音符合于分音列中某些音程，例如，大半音是第十五分音到第十六分音的音程，小全音是第九分音到第十分音的音程等等，这也是纯律遵循自然法则的表现。

（二）纯律小音阶

仿照纯律大音阶的生成，将纯律大三度音改为纯律小三度音，可得到纯律自然小音阶，如表4-2所示。

表4-2

音级	1	2	3	4	5	6	7	8
音名	c1	d1	${_\ ^b}\overline{e1}$	f1	g1	${_\ ^b}\overline{a1}$	${_\ ^b}\overline{b1}$	c2
频率比	1	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^2}{2}$	$\frac{6}{5}$	$\frac{ {(\frac{3}{2})}^{-1} }{2^{-1} }$	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{3}\times\frac{6}{5}$	$\frac{3}{2}\times\frac{6}{5}$	2
音分值	0	204	316	498	702	814	1018	1200
频率	261.63	294.33	313.96	348.84	392.45	418.61	470.93	523.26
名称	同度	大全音	纯律小三度	纯四度	纯五度	纯律小六度	纯律小七度	纯八度

表4-2中，音名上的上划线表示其比五度律音阶中的同名音高一个“普通音差”。

若将纯律自然小音阶中的七级音换为纯律大音阶中的七级音，则构成“纯律和声小音阶”（c1-d1- ${_\ ^b}\overline{e1}$ -f1-g1- ${_\ ^b}\overline{a1}$ -b1-c2）。六级音和七级音之间将构成特殊音程“纯律增二度”（频率比为 $\frac{75}{64}$ ）。

在纯律大小音阶中相邻两音之间，有非常复杂的升降音，例如c-d之间，有 ${_\ ^\# }\underline{\underline c}$ ， ${_\ ^\# }\underline c$ ， ${_\ ^b}\overline{d}$ ， ${_\ ^b}\overline{\overline{d} }$ 等，其中c- ${_\ ^b}\overline{d}$ 为大半音（纯律大半音，112音分），而c- ${_\ ^\# }\underline{\underline c}$ 称为“纯律小半音”（频率比 $\frac{25}{24}$ ，音分值为71音分），简称“小半音”。

五、十二平均律

十二平均律（twelve-tone equal temperament）是把一个八度均分为频率比相等的十二个半音的律制，又称为“十二等比律”。

（一）产生法

一个八度的频率比为2:1，则十二平均律各律之间的频率比应为： $\sqrt[12]{2}=1.05946$ 。各律频率的计算表达式为：

$fn=2^\frac{n}{12}\times f1 \tag{5.1}$

式（5.1）中，f1表示第一律（主音）的频率。

在求十二平均律时，可使用一种仿照五度相生律的求法：将每次相生使用的纯五度缩小“最大音差的十二分之一”，即使用“平均律五度”（频率比 $\frac{433}{289}$ ）来进行相生，生律十二次，可得到十二平均律。十二平均律五度音列如图5-1所示。

图5-1

十二平均律如表5-1所示。

表5-1

音级	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
音名	c1	${_\ ^\# }c1/{_\ ^b}d1$	d1	${_\ ^\# }d1/{_\ ^b}e1$	e1	f1	${_\ ^\# }f1/{_\ ^b}g1$	g1	${_\ ^\# }g1/{_\ ^b}a1$	a1	${_\ ^\# }a1/{_\ ^b}b1$	b1	c2
频率比	1	$2^\frac{1}{12}$	$2^\frac{2}{12}$	$2^\frac{3}{12}$	$2^\frac{4}{12}$	$2^\frac{5}{12}$	$2^\frac{6}{12}$	$2^\frac{7}{12}$	$2^\frac{8}{12}$	$2^\frac{9}{12}$	$2^\frac{10}{12}$	$2^\frac{11}{12}$	2
音分值	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200
频率	261.63	277.18	293.66	311.13	329.63	349.23	370.00	392.00	415.31	440.00	466.17	493.89	523.26